Sous la Révolution française, le désir et la nécessité d'unifier les unités de mesures sur tout le territoire sont dans l'air du temps : leur diversité est considérée comme un facteur de division des citoyens. Symbole des inégalités et de l'arbitraire de l'Ancien Régime, l'expression « deux poids, deux mesures » a encore tout son sens : on mesurait les longueurs en toises, en pieds et en pouces, mais ces longueurs variaient suivant les régions, de même pour les mesures de masse, de volume.

L'Académie des Sciences, sous l'impulsion de l'Assemblée, définit la nouvelle unité de longueur.

Choisie dans la Nature, pour être universelle, cette nouvelle unité, le mètre, est définie comme la dix-millionnième partie du quart du méridien terrestre.

Deux astronomes, DELAMBRE et MÉCHAIN, sont chargés de mesurer la portion du méridien (de Paris) allant de Dunkerque à Barcelone en vue de fabriquer un mètre étalon de référence destiné « à tous les peuples, à tous les temps » comme l'avait déclaré CONDORCET c'est l'épopée de la « méridienne » qui durera de 1792 à 1798.
La mesure est basée sur le principe de triangulation nécessitant des travaux de géodésie et d'astronomie.

Géodésie

On dresse une suite de triangles (Doc. 1), de Dunkerque à Barcelone, dont les sommets sont de part et d'autre du méridien et on mesure tous les angles de ces triangles (mais pas les côtés) avec une grande précision (la seconde d'angle). Les sommets de ces triangles sont des « points hauts » sur le terrain : clocher d'église, tour, colline. On fabrique une base, qui est un côté d'un des triangles, très plane, que l'on mesurera aussi avec grand soin.

Astronomie

On mesure les angles de la verticale du point nord (Dunkerque) et de celle du point sud (Barcelone) avec une étoile très lointaine leur différence donne l'écart de latitude α entre Dunkerque et Barcelone (Doc. 2). Il ne reste plus qu'à calculer : la connaissance d'un côté (la base) et de tous les angles des triangles permet de calculer de proche en proche tous les côtés, puis leur projection sur le méridien : on connaît alors très exactement la longueur d Dunkerque-Barcelone et enfin la longueur du méridien :

d × 360
α

Questions

1 - Pourquoi peut-on dire sans se tromper que le méridien terrestre a une longueur de 40 000 kilomètres ? Calculer le rayon terrestre.

2 - Indiquer la fraction de degré que représente la seconde d'angle ; calculer dans un triangle rectangle en A le côté AC, sachant que BC = 24 km et B = 30°0’1”. Quelle est l'erreur commise sur AC si on prend 30° pour valeur approchée de B ?

3 - Sur le document 2, on considère que les rayons provenant de l'étoile lointaine sont parallèles. Justifier l'égalité α = φ₂ - φ₁ .

D’après DÉCLIC Math^s Première S, Hachette Éducation, Chapitre 14, Activité 1,  page 350.